DERIVE 6

Numerik - Zahlenbereiche

Inhalt:

Rationale Zahlen

Bruchrechnen ist - wie bei vielen einfachen Taschenrechnern auch - kein Problem. Der Vorteil gegenüber einem Taschenrechner liegt in der besseren Darstellung der Ergebnisse und der wegfallenden Beschränkung auf bestimmte Größenordnungen (die meisten Taschenrechner arbeiten aus Speichergründen nur mit wenigen Stellen).

Bruchrechnen

Beachten muss man dabei nur die Vorrangregeln - gegenüber einer "händischen" Heftschreibweise muss hier stärker mit Klammersetzung gearbeitet werden.

Viele Problemstellungen bei Brüchen hängen mit Formen der Vereinfachung zusammen: Die Zerlegung in Faktoren bzw. das Ausmultiplizieren von Teilen eines Bruches können mit Factor - Expand gelöst werden. DERIVE bietet weiters auch Befehle zu Teilbarkeit (ggT, kgV etc.) an und kann auch Nenner und Zähler isolieren (Vereinfachen - Zerlegen von Ausdrücken).

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Reelle Zahlen - "Kommazahlen"

Üblicherweise gibt es bei Taschenrechnern eine Beschränkung bei der Zahl der angezeigten Stellen - meist in engem Zusammenhang mit dem Leistungsvermögen der mathematischen "Motoren" - der Mikroprozessoren (CPU). Die Anzahl der angezeigten Kommastellen kann zwischen 0 und einem vorgegebenen Maximum (meist 10 - 12) eingestellt werden. Bei großen oder sehr kleinen Zahlen wirkt sich diese Beschränkung der Berechnungsgenauigkeit und Darstellbarkeit von Zahlen ebenfalls aus - Taschenrechner weichen hier auf eine "wissenschaftliche" Schreibweise / Exponential-Darstellung aus.

DERIVE verhält sich hier anders! Da die Genauigkeit der Berechnung nicht Hardwaregesteuert sondern Softwaregesteuert erfolgt, ist es möglich, mit praktisch unbegrenzter Genauigkeit zu rechnen. Die Einstellungen erfolgen im Menü EXTRAS - EINSTELLUNGEN.

Zahlenbereiche

Übung:

Heron-Verfahren: Berechne die Seitenlänge eines Quadrats, dessen Flächeninhalt 2 cm2 beträgt!

  • Wähle eine beliebige Anfangszahl (zB. 1) für die Seitenlänge!
  • Wir fassen diese Seitenlänge als Rechtecksseite a auf und berechnen die dazugehörige zweite Seitenlänge b, um auf ein Rechteck der Fläche 2 zu kommen.
  • Wir bilden den Mittelwert aneu = 1/2 * (a + Fläche/b) und beginnen den Vorgang aufs Neue!
  • Berechne a, sodass die Flächenabweichung unterhalb der Größenordnung 10-10 liegt!

 

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Tip: Vorgehensweise für wiederholtes Einsetzen. Löschen Sie den zu ersetzenden Bereich in der Eingabezeile. Stellen Sie anschließend die Markierung im Algebrafenster auf das vorige Ergebnis und arbeiten Sie mit der Taste F3, um den markierten Teil in die Eingabezeile einzufügen!


 
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Komplexe Zahlen

DERIVE stellt eine Reihe von Funktionen für komplexe Zahlen standardmäßig zur Verfügung:

  • Imaginäre Einheit i (Eingabe: STRG + i oder #i oder über die die Mathematik-Symbolleiste) als Wurzel aus -1. DERIVE stellt komplexe Zahlen in kartesischer / arithmetischer Form als Summe von Realteil und Imaginärteil dar (zB. z = -1 + 3·i).
  • RE(z) - gibt den Realteil einer komplexen Zahl z = x + i·y zurück.
  • IM(z) - liefert den Imaginärteil der komplexen Zahl z = x + i·y.
  • ABS(z) - ergibt den Absolutbetrag der komplexen Zahl z
  • CONJ(z) - liefert die konjugiert komplexe Zahl z* von z (conj(a + i·b) = a - i·b)
  • PHASE(z) - Winkel (Argument) in der Gauß-Ebene. Als Argument einer komplexen Zahl bezeichnet man den Winkel, den die als Vektor interpretierte komplexe Zahl z mit der positiven x-Achse einschließt.
  • SIGN(z) - liefert jenen Punkt am Einheitskreis, der denselben Phasenwinkel wie z hat. So wird zB. SIGN(3 + 4·i) vereinfacht zu 3/5 + 4·i/5.
  • unit_circle - stellt einen beliebigen Punkt auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene dar.

Mitgeliefert bei DERIVE wird ein eigenes Paket ComplexAnalysis.dfw für das Rechnen mit komplexen Zahlen - damit kann der Befehlsumfang um eine Reihe von zusätzliche Funktionen erweitert werden.

Übung:

Erzeuge eine Formel für die abgekürzte Polarform von z = x + i·y: z = (r, φ) mit
r: r = sqrt(x2 + y2)
φ: x = r · cos(φ), y = r · sin(φ)
Berechne das Ergebnis dieser Form für z = sqrt(3) + i

 

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Links: zu "Komplexe Zahlen"

© PI-NOe, letzte Änderung am 23. Februar 2005, erstellt von Mag. Walter Wegscheider