DERIVE 6

Gleichungssysteme

Inhalt:

Gegeben ist ein Gleichungssystem: 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten!

  I: 3x - y = 5
 II: 2x + 3y = 7

Wir wenden verschiedene Lösungsstrategien an:

1) Einsetzungsverfahren / Substitutionsverfahren

Einsetzverfahren

Anschließend wird die Lösung x = 2 in die Gleichung y = 3x - 5 eingesetzt und y berechnet (y = 1)

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2) Gleichsetzungsverfahren / Komparationsverf.

Aus beiden Ausgangsgleichungen wird mit SOLVE eine Variable berechnet. Anschließend werden die rechten Seiten der Gleichungen in die Eingabezeile geholt und gleichgesetzt.

Gleichsetzungsverfahren
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3) Eliminationsverfahren

Die erste Gleichung wird mit 2 multipliziert, die zweite Gleichung mit 3. Anschließend subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung.

Eliminationsverfahren
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4) Lösen des Systems mit SOLVE / SOLUTIONS

Die beiden Gleichungen werden in eckigen Klammern, mit einem Beistrich getrennt, dargestellt. Mit SOLVE wird das System gelöst. Es wird der Lösungsvektor ausgegeben.

Lösen mit SOLVE

Dieses Verfahren lässt sich natürlich auch für Gleichungssysteme mit mehr Variablen anwenden.

Tip - bei der Eingabe von Gleichungssystemen ist die Möglichkeit, auf einen Ausdruck mit Hilfe seiner Kennnummer (#..) zuzugreifen, besonders dienlich! Beispiel: SOLVE([#1,#2,#3],[x,y,z])


  Lösen mit SOLVE 2
 

Hinweis - die einzelnen Teilergebnisse können aus dem Ergebnisvektor extrahiert werden, indem man mit dem SUB-Operator (anstatt SUB kann auch das Symbol ↑ aus der Mathematik-Symbolleiste genommen werden!) arbeitet. Dies geht relativ einfach bei Verwendung von SOLUTIONS statt SOLVE!

Beispiel:
Loesungen extrahieren
 

Hinweis - Die Funktionen NSOLVE und NSOLUTIONS sind auf Gleichungssysteme nicht anwendbar!

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5) Menüpunkt LÖSEN - SYSTEM

DERIVE bietet auch die Möglichkeit an, Gleichungssysteme mit Hilfe eines eigenen Menüpunkts zu lösen. LÖSEN - SYSTEM bietet dialoggesteuert eine einfache Alternative. Wir verwenden wieder unsere beiden ursprünglichen Gleichungen - nach Abschluss des Dialogs wird der durchgeführte Vorgang als SOLVE-Operation in den HOME-Bereich eingeblendet.

Systemloesung 1

Systemloesung 2

Systemloesung 3

Übungen:

  1. Löse das folgende Gleichungssystem in 4 Unbekannten:
      I:    a + b + -2c + d = 2
      II: -2a -2b + c + d = 2
      III:  a - b + c + 2d = 10
      IV:   a + b - 4c + 5d = 12
      
  2. Ermittle die Schnittpunkte der Geraden g:x - y = 4 mit dem Kreis k:(x+2)^2 + (y-2)^2 = 36 und .

 

DERIVE-Datei

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Weitere Übungen (ohne Lösung)
  • Löse das folgende lineare Gleichungssystem auf mehrere Arten:
     3x+2y=5
     x+y+z=3
     z-y-x=-1
  • Löse das Gleichungssystem und interpretiere den Parameter @
    3x+2y=5
    x+y+z=3
  • Finde ein lineares Gleichungssystem, dass die Lösung x=1, y=2 und z=3 hat und drei Gleichungen mit jeweils allen drei Variablen enthält.
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© PI-NOe, letzte Änderung am 18. Juni 2005, erstellt von Mag. Walter Wegscheider