DERIVE 6

Matrizen

Ein rechteckiges Tableau von mathematischen Ausdrücken - im einfachsten Fall sind das Zahlen - nennt man eine Matrix. Sie wird gekennzeichnet durch die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten (zB. 4 x 3 ... 4 Zeilen zu 3 Elementen, entspricht 4 Vektoren mit je 3 Elementen).
Eine Matrix kann damit in DERIVEals Vektor von Vektoren mit gleicher Dimension interpretiert werden. Umgekehrt können damit auch Vektoren als Matrizen aufgefasst werden (1 x 3 ... Zeilenvektor, 3 x 1 ... Spaltenvektor).

Eingabe von Matrizen:

  • Eingabe über das Menü: SCHREIBEN - MATRIX, 2 Dialogfenster: Definition die Dimension der Matrix und Eingabe der Elemente.
  • Eingabe direkt über die Tastatur - Langform, Beispiel: Matrix A:=[[3,2,1],[1,2,4],[1,0,-1]]
  • Eingabe direkt über die Tastatur - Kurzform, Beispiel: Matrix A:=[3,2,1 ; 1,2,4 ; 1,0,-1] (Trennung der Zeilen über Strichpunkt!)

Matrizenbefehle:

+, - Matrizenaddition, -subtraktion
DIM(A) Dimension einer Matrix - ergibt die Zeilenzahl. Allgemein spricht man eine Matrix an mit: Zeilenanzahl x (kreuz) Spaltenanzahl
RANK(A) Rang einer Matrix - Anzahl der linear unabhängigen Zeilen
SUB oder Zugriff auf Elementer der Matrix, A SUB 1 SUB 2 ... erste Zeile, zweite Spalte oder auch A SUB [1,2]
A*k Multikplikation der Matrix A mit einem Skalar k. Ein Skalar ist zum Unterschied von einem Vektor und einer Matrix eine Größe, die nur aus einer einzigen Komponente - im Allgemeinen einer reellen Zahl - besteht
A*B oder A.B Multiplikation von Matrizen (Produktmatrix). Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten übereinstimmt!
A (5 x 2) * B (2 x 3) ergibt eine Matrix C (5 x 3) -
allgemein: A(i x j) * B(j x k) = C(i x k).
A` Transponierte Matrix von A, Postfix-Operator ` (Accent) neben ß erreichbar!
A^-1 Inverse Matrix von A
DET(A) Determinante von A
ROW_REDUCE(A), ROW_REDUCE(A,B) Mit der Funktion ROW_REDUCE kann man die normierte Dreiecksform einer Matrix berechnen. Wird ROW_REDUCE auf zwei Matrizen angewandt, so werden diese aneinander gefügt und die Einheitsform dieser erweiterten Matrix berechnet.
CHARPOLY(A,v) Charakteristisches Polynom der quadratischen Matrix A mit der Variable v
EIGENVALUES(A,v) liefert die Eigenwerte der quadratischen Matrix A bezüglich der Variablen v

Weitere Funktionen finden sich in der entsprechenden UTILITY-Datei VectorMatrixFunctions.mth.

Beispiel 1 - lösen von Gleichungssystemen:

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe von ROW_REDUCE, kontrollieren Sie mit SOLUTIONS.

      Gleichungssystem

row_reduce

Beispiel 2 - Drehmatrizen:

Eine Drehung im Zweidimensionalen kann immer mit Hilfe einer Drehmatrix beschrieben werden. Diese wird mit den Vektoren multipliziert, durch die die Figur beschrieben ist. Eine Drehmatrix ist stets von der Form:
Formel

Durch Multiplikation der Matrix, die eine geometrische Figur definiert (zB. ein Dreieck), mit der Drehmatrix entsteht die gedrehte Figur.

Drehmatrix

Plot

Übung:

Symmetrische Verschlüsselung mit Hilfe von Matrizenoperationen: der Text "Das ist ein Geheimtext" soll verschlüsselt werden.
Vorgangsweise:

  1. Umwandlung in einen Vektor mit den ASCII-Codes der Zeichen
    DERIVE-Befehl: NAME_TO_CODES(Text
  2. Anordnung des Buchstabenvektors in eine Matrix mit fixierter Spaltenzahl (zB. 4-spaltig)
  3. Falls nötig, wird der Geheimtext um Leerzeichen ergänzt, um die Matrix aufzufüllen.
  4. Verschlüsselung des codierten Textes mit Hilfe einer Schlüsselmatrix (quadratisch, nichtsingulär = Determinante ungleich 0), im Falle einer 4-spaltigen Ausgangsmatrix also eine nichtsinguläre 4x4-Matrix.
    geheim := klar . schluesselmatrix
  5. Rückverwandlung mit klar := geheim . schluesselmatrix^-1 (inverse Matrix)
  6. CODES_TO_NAME(Zahlenvektor) verwandelt wieder in den Ausgangstext.

DERIVE-Datei

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© PI-NOe, letzte Änderung am 6. Mai 2005, erstellt von Mag. Walter Wegscheider