DERIVE 6

Befehle ITERATES und ITERATE

Der Befehl ITERATES erlaubt es, in DERIVE rekursiv zu arbeiten. ITERATES gehört zu den mächtigsten Instrumenten des Programms, gleichzeitig ist es ein recht anspruchsvoller Zugang, der sich dem geübten Programmierer sicher leichter eröffnet.

ITERATES(u,x,x0) Die Formel u wird auf x beginnend mit x0 sooft angewandt, bis x einem früheren Wert entspricht / konvergiert. Das Ergebnis ist ein Vektor der gefundenen Werte für x, beginnend mit x0.
ITERATES(u,x,x0,i) Der vierte Parameter i gibt die Zahl der durchzuführenden Iterationen an. ITERATES liefert für die Funktion x → u(x) eine Liste der ersten n+1 Glieder der Iterationsfolge x, u(x), u(u(x)), u(u(u(x))),.... mit dem Startwert x0.
ITERATE In vielen Fällen interessiert man sich nur für den letzten Iterationswert. ITERATE ist identisch mit ITERATES, es wird jedoch bei ITERATE nur der letzte Iterationswert ausgegeben. ITERATE liefert ?, falls die Iteration nicht gegen einen eindeutigen Wert konvergiert.

Tip - bei ITERATES und ITERATE kann x auch ein Vektor von Variablen sein. Dann muss für x0 ein Vektor von Startwerten für diese Variablen eingegeben werden!

Beispiel - Verzinsung:

Wir wollen die Verzinsung eines Kapitals von 10000 € über einen Zeitraum von 5 Jahren betrachten. Der jährliche Zinssatz beträgt 3 Prozent.
Nun können wir über die explizite Formel: K(n)=K0*p^n vorgehen oder über die Rekursion mit Hilfe von ITERATES.

ITERATE würde nur den letzten Wert ausgeben anstatt des Vektors aller Werte der Entwicklung.

Der Vorteil der Rekursion ist die Möglichkeit, die Entwicklung besser zu betrachten und bei Bedarf auch zu visualisieren.

ITERATES1

Auf diese Art lassen sich Wachstumsprozesse aller Art (arithmetische Folgen, geometrische Folgen, logistisches Wachstum, ...) modellieren. Die Fragestellung, bei welchem n (nach wie vielen Jahren) die Verzinsung einen bestimmten Wert überschreitet, ist schon etwas aufwändiger in ihrer Beantwortung.

Hinweis - der SOLVE-Befehl ist nicht geeignet, um bei Iterationen Lösungen zu Fragestellungen der Art: Wann übersteigt die Iteration eine bestimmte Grenze? zu erhalten!

Beispiel - Erweiterung:

Wir betrachten wieder die Verzinsung des Kapitals K = 10000 € bei 3% jährlicher Verzinsung. Die Fragen lauten:

  • Welche Höhe erreicht das Kapital nach 20 Jahren?
  • Nach wievielen Jahren wird das Kapital die Höhe von 20000 € überschreiten?

 

DERIVE-Datei

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Beispiel - Heronverfahren:

Nach Wahl eines geeigneten Startwerts x0 liefert die wiederholte Berechnung (Iteration) nach der Vorschrift
      Formel Heron
eine Folge von immer genaueren Näherungswerten für die Wurzel der Zahl a - SQRT(a).

Wir erzeugen mit Hilfe von ITERATE eine Formel mit der Zahl selbst als Startwert und n Iterationen (DERIVE-Datei).

Heronverfahren

Übungen:

  • Die Fibonacci-Zahlen sind durch die Rekursion: F(n) = F(n-2) + F(n-1) definiert mit: n>=2, F(0)=0, F(1)=1. Bestimme eine iterative Formel für die n-te Fibonacci-Zahl.
  • Die Lukas-Zahlen sind wie die Fibonacci-Zahlen durch L(n) = L(n-2) + L(n-1) definiert mit: n>=2, L(0)=2, L(1)=1 (Die Startbedingung ist eine andere!). Zeigen Sie, dass L(n) = F(n-1) + F(n+1) gilt, F(n) ... Fibonaccizahlen, L(n) ... Lukaszahlen.
  • Zeigen Sie an Beispielen, dass sich das Verhältnis F(n)/F(n-1) (F(n) ... Fibonaccizahl) der "Goldenen Zahl" G = 1/2 *(SQRT(5) + 1) annähert, dem Teilungsverhältnis im Goldenen Schnitt (gleichzeitig positive Lösung der Gleichung x^2-x-1=0).

 

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  • Erzeugen Sie auf der Basis des Heron-Verfahrens eine Vorschrift für die k-te Wurzel aus a
          Heron-Erweiterung

  • Bestimmen Sie eine DERIVE-Funktion, die für eine gegebene Funktion f und einen Startwert a einen Näherungswert mit Hilfe des Newtonschen Verfahrens berechnet. Die Anzahl der Iterationen soll frei wählbar sein.
          Newtonverfahren
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Links:

© PI-NOe, letzte Änderung am 29. April 2005, erstellt von Mag. Walter Wegscheider