Tipps und Tricks zu DERIVE

Funktionen

Inhalt:

Abschnittsweise definierte Funktionen
Periodische Fortsetzung einer Funktion
Umkehrfunktion - Graph einer Kubikwurzel
Integral von abschnittsweise definierten Funktionen
Interpolation
Taylorreihe

Abschnittsweise definierte Funktionen:

Frage:

Wie definiert man mit DERIVE eine abschnittsweise definierte Funktion?

Antwort:

Das geeignete Werkzeug ist die IF-Funktion in Zusammenhang mit der Beschreibung der Intervalle und fallweiser Verwendung von logischen Operatoren.

Beispiele:

Syntax: `if(-1 ≤ x ≤ 1,x^2,0)`

Das letzte Beispiel zeigt den halben Meridian einer Drehfläche, die von einem Geradenstück, einem Halbreis und einer Parabelhälfte gebildet wird. Dabei sind die IF-Konstrukte zu verschachteln.

Derive-Daten

Graph

Periodische Fortsetzung einer Funktion:

Frage:

Ein Teil einer Funktion aus dem Intervall [a,b) soll periodisch nach allen Richtungen fortgesetzt werden.

Antwort:

Ein Vorschlag lautet folgendermaßen:

Periodisch1

Periodisch2

Periodisch3

Periodisch4

Umkehrfunktion - Graph einer Kubikwurzel

Frage:

Wenn ich die Umkehrfunktion zu f(x) = x³ – 1 zeichnen lasse, dann erhalte ich nur den Teil für x > 1. Die dritte Wurzel einer negativen Zahl ist doch definiert! Wie kann ich die komplette Umkehrfunktion sichtbar machen?

Kubik1

Kubik2

Antwort:

DERIVE arbeitet standardmäßig im Bereich der komplexen Zahlen und wählt vorerst nur die "nächste" dritte Wurzel aus (die auch komplex sein kann). Man kann nun die Ausgabe der reellen Wurzel erzwingen.
Setze in den MODE - SETTINGS in der Registerkarte SIMPLIFICATION den BRANCH auf REAL.

Kubik3

Integral einer abschnittsweise definierten Funktion

Frage:

Das bestimmte Integral für eine mit Hilfe der IF-Konstruktion abschnittsweise definierten Funktion lässt sich nicht (exakt) berechnen.

Wenn ich die Abschnitte getrennt integriere, erhalte ich ein anderes - das richtige Ergebnis!

Antwort:

Das ist offensichtlich ein Programmfehler. Diesem kann zweifach begegnet werden:

(1) wenn man mit dem numerischen Ergebnis zufrieden ist, das Integral nicht vereinfachen, sondern approximieren, oder

(2) die Funktion mit Hilfe der CHI-Funktion definieren, dann erhält man auch das exakte Ergebnis - falls es ein solches gibt.

Die schrittweise Vereinfachung des Integrals #2 zeigt, wie DERIVE die IF-Konstruktion falsch interpretiert.

Interpolation

Frage:

Gegeben sei eine beliebige Funktion (kein Polynom) wie zB y(x) = sin(2(x) + cos(3(x). Ich möchte durch einige Stützstellen x₁, x₂, ..., x_n ein Interpolationspolynom natürlich vom Grad n - 1 legen. Gibt es dafür eine geeignete Funktion?

Antwort:

Eine fertige implementierte DERIVE-Funktion gibt es nicht, aber Terence Etchells (UK) hat im DERIVE Newsletter #25 eine Funktion dafür vorgestellt, die in Zeiten von DERIVE 6 wesentlich einfacher in Form eines kurzen Programms dargestellt werden kann.

Wir wollen die oben angeführte Funktion mit den Stützpunkten

(-π,-3π/4, -π/2, -π/4, 0, π/4, π/2, 3π/4, π)

durch ein Interpolationspolynom approximieren.

Der Plot mit der Funktion (rot) und Stützpunkten + Interpolationspolynom

Taylorreihe

Frage:

Wie kann ich eine Taylorreihe, entwickelt an einer Stelle a als Summe der Polynome c (x − a)^k erhalten?

DERIVE gibt aus:

Ich hätte aber gerne: 1 − (x − 1) + (x − 1)² − (x − 1)³ + ...