Tipps und Tricks zu DERIVE

Antwort von Albert Rich: Dieses Ergebnis wird mit dem konstanten Summanden –1/m angegeben, weil der Grenzwert der Stammfunktion ohne diesem Summanden für m gegen 0 unendlich ergibt. Mit diesem Summanden ergibt sich der Grenzwert x, und das ist das gleiche Ergebnis, das man erhält, wenn man vor dem Integrieren m durch 0 substituiert.

Bei INT(x^m,x) ergibt sich das gleiche Problem für m = -1.

Mein Problem besteht darin, das Integral der Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung bezüglich z von 0 bis c zu finden, ohne auf die numerischen Näherungsverfahren von DERIVE zurückgreifen zu müssen. Mein Lehrbuch sagt, dass dieses Integral nicht existiert. Ich brauche eine Formel für die z(c) – Werte (wenn die Fläche unter der Dichtefunktion gegeben ist), die ich in ein Tabellenkalkulationsprogramm übertragen kann. DERIVE liefert ERF-Werte, die ich momentan nicht erklären kann. Kann man die entsprechende Gleichung überhaupt nach c auflösen?

Das folgende Verfahren lässt sich mit recht guten Ergebnissen in ein Tabellenkalkulationsprogramm übertragen:
Es sei Q(x) die Fläche unter der standardisierten Glockenkurve von -∞ bis x. Dann lässt sich Q(x) recht ordentlich approximieren durch:
, wobei Z(x) die standardisierte Dichtefunktion
ist und .

Die Konstanten a – p haben die Werte:

Diese Näherungsformel findet sich im Handbook of Mathematical Functions, Abramowitz & Stegun, National Bureau of Standards. Meine Ausgabe stammt aus dem Jahre 1964, damit ist sie möglicherweise älter als Sie!! Larry Gilligan, University of Cincinatti.

Beispiele:

Wie kann man mit Derive Faltungsintegrale berechnen? Im Index kann ich das nicht finden.

Um eine Funktion u(t) mit der Funktion v(t) im Intervall a ≤ t ≤ b zu falten, definiert man:
      faltung(u, v, t, a, b) := ∫(u, LIM(v, t, t - x), x, a, b)

Da v üblicherweise et ist, kann man kürzer definieren:
      faltung(u, t, a, b) := ∫(u, e^(t – x), x, a, b)

Ich wollte das Integral mit Derive berechnen und erhielt das Ergebnis π/4.
Über "stepwise simplification" wollte ich die entsprechende Integrationsregel finden und ich fand eine mir unbekannte Regel:

Diese Regel wurde schon 1992 im DERIVE-Newsletter behandelt und erst kürzlich in einem Artikel von Dana Picard im DNL#57 angesprochen. Hier findet sich auch eine ausgedehnte Behandlung dieser Regel von Albert Rich.

Hier folgt eine Zusammenfassung der Diskussion aus dem Jahr 1992:
Das angesprochene Integral zeigt, wie man spezielle Eigenschaften von Funktionen zur einfacheren Integration heranziehen kann:

Diese Funktion erfüllt die Komplementeigenschaft:
     

Wenn man diese Gleichung zwischen den Grenzen 0 und pi/2 integriert und dann mit u=π/2-x substituiert, ergibt sich:

Die allgemeine Identität, die in einem derartigen Fall angewendet werden kann, lautet:
     

Ein nettes Beispiel dafür ist auch:
(Wir erzeugen vorerst eine Hilfsfunktion und testen, ob das neue Integral einfacher wird als das gegebene:)

Wenn wir wieder die "Stepwise Simplification" anwenden, erkennen wir, dass auch DERIVE in diesem Fall diese – weithin unbekannte – Integrationsmethode anwendet:

Das Integral sollte doch sein . DERIVE liefert da etwas ganz anderes.

Es ist eine gute Erfahrung für die Schüler und für alle CAS-Nutzer, dass manchmal die Ausgaben des CAS nicht – oder nicht ganz – den Erwartungen entsprechen. Dann sind sie aber trotzdem zumeist nicht falsch, denn der Term 2/(v-1) stellt nichts anderes dar als eine Form der Integrationskonstanten. In der faktorisierten Form wird diese Integrationskonstante sogar noch "versteckt". Wenn man das bestimmte Integral berechnet, ergibt sich sofort die erwartete Antwort: