Tipps und Tricks zu DERIVE

Hier sind zwei einfache Berechungen im Simplification Modus >Trigonometry Auto und >Trig_Powers Auto.

Nicht überraschend wird der erste Ausdruck nicht zu Null vereinfacht. Dann veränderte ich die Einstellung auf >Trigonometry Collect.

Für den ersten Term ergab sich nun Null und die Taylor-Entwicklung dauerte etwas länger, aber das Ergebnis erschien. Wenn ich aber TAYLOR(TAN(x), x, 0, 6) oder eine noch höhere Ordnung suche, dann ist kein Ergebnis in einer vernünftigen Zeit erreichbar.

Der dramatische Anstieg in der Rechenzeit ist im exponentiellen Wachstum der Ableitungen des Tangens in "Collect"-Modus zu finden. Man vergleiche den Umfang der vierten Ableitungen des Tangens im "Auto"- und im "Collect"-Modus.

Es wird empfohlen, diese Taylorreihe im "Auto"-Modus zu berechnen und dann das Ergebnis fallsweise im "Collect"-Modus nochmals zu vereinfachen.

Beachten Sie, dass nicht immer der "Auto"-Modus der am besten geeignete ist, um Taylorreihen zu bestimmen. Es mögen sicher andere Beispiele existieren, für die der "Collect"- oder der "Expand"-Modus am besten arbeitet. Trigonometrische Vereinfachungen sind sehr schwierig. Bis wir wissen, wie man den ganzen Prozess vollkommen automatisieren kann, müssen die Anwender fallweise experimentieren.

Albert Rich

Ich vereinfache den Term
     
zuerst im Exact-Mode und dann approximiert. Nur approximiert erhalte ich den – richtigen – Wert 1. Warum?

     

Wie lautet der Beweis dafür?

Bei vielen Problemen mit Winkelfunktionen leisten die Einstellungen Trigonometry Collect und Trig_Powers unter den Mode Settings gute Dienste:

     

Für die Herleitung dieses Ergebnisses kann nun die Stepwise Simplification eingesetzt werden:

     

     

Die nächste Identität sollte 0 ergeben. Mit der Option Trigonometry Collect habe ich hier kein Glück.

     

Soft Warehouse gab 1992 die folgende Erklärung:
Du fragst, wieso DERIVE diesen Ausdruck zu 0 vereinfachen kann? Die entscheidendere Frage ist aber, wie DERIVE   sin(π/18) + cos(2π/9) zu   cos(π/9) vereinfacht?
Da cos(x) = sin(x + π/2) für alle x, speichert DERIVE den Ausdruck als   sin(π/18) + sin(13π/18).

Dann wird die trigonometrische Identität
 
angewendet, was zu 2 sin(7π/18)⋅cos(-π/3) führt. Der erste Faktor wird zu cos(π/9) vereinfacht - und der zweite ist 1/2. Damit kann bequem durch 2 gekürzt werden. Geschafft, und alles ohne Zauberei!

Vergleichen wir mit der Vorgangsweise in DERIVE 6. Interessanterweise muss man zweimal Vereinfachen, da beim ersten Schritt nur umgeordnet wird:

     

     

Es ist sehr reizvoll, die schrittweise Vereinfachung auch im Mode Trigonometry Expand durchzuführen, da man hier auf einem anderen Weg zum Ergebnis gelangt.

Ich habe DERIVE auf das Gradmaß (Degree Mode) eingestellt. Ich erhalte aber über die Umkehrfunktionen trotzdem die Winkel im Bogenmaß. Manchmal erhalte ich schon das Ergebnis in Grad (siehe Beispiel). Was mache ich da falsch? Hier ist ein einfaches Beispiel:

Sie machen da gar nichts falsch. Die Antwort wird – unabhängig vom eingestellte Modus immer im Bogenmaß gegeben. Auch die Antwort 60° ist eigentlich im Bogenmaß, da das "°"-Zeichen π/180 – und damit der Umwandlungszahl entspricht. Wir lassen am besten Albert Rich antworten (Zitat aus dem DERIVE Newsletter # 56):

In approximate mode, the built-in inverse trig functions (e.g. ASIN, ACOS, ATAN, etc.) always return angles in radians, even in Degree mode. For example, in Degree mode ATAN(1) simplifies to 45° but approximates to 0.7853981633. To always get angles returned in degrees use the inverse trig functions (e.g. ARCSIN, ARCCOS, ARCTAN, etc.) defined in MiscellaneousFunctions.mth instead of the built-in functions. For example, ARCTAN(1) simplifies and approximates to 45.

Sie können auf zwei Arten das Ergebnis im Winkelmaß erreichen:

           (1) über die ARC-Funktionen oder

           (2) indem Sie den Winkel durch das Gradsymbol ° dividieren.

Beachten Sie, dass in den Antworten das Gradsymbol (der Gradoperator) nicht mehr auftritt.