Der
Differentialquotient ist definiert als Grenzwert eines
Differenzenquotienten im Intervall [a; b].
| Differentialquotient f'(a)
:=
|
lim
b → a |
f(b)
- f(a)
b
- a |
Er kann auch als Steigung der Tangente an die
Funktion an der Stelle x=a
oder als momentane
Änderungsrate aufgefasst werden. Den
Differentialquotienten nennt man kurz f'(a).
-
Schreibe die Definition des
Differentialquotienten zusammen mit
einer
Skizze in dein Heft.
-
Verschiebe im rechten Fenster den Punkt B nahe zu A
und
beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und
A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen in deinem
Heft.
- Welche
geometrische Bedeutung hat der
Differentialquotient für die Tangente im Punkt A?
|
|
Anstelle des Intervalls [a; b] nimmt man auch oft das Intervall [x0; x0 + h]. Dadurch ergibt sich die folgende Schreibweise für den Differentialquotienten:
| f'(x0)
:=
|
lim
h → 0 |
f(x0 + h)
- f(x0)
h |
Neben f'(x0) gibt es auch noch eine andere Kurzbezeichnung für den Differentialquotienten:
|
f'(x0) = |
d
dx |
f(x0) := |
lim
h → 0 |
f(x0 + h)
- f(x0)
h |
Das "d" steht dabei für "unendlich kleine Differenz" und
verdeutlicht, dass der Differentialquotient der Grenzwert des
Quotienten zweier Differenzen ist.
|
©
M.
Hohenwarter und G. Jauck, 2005, erstellt
mit GeoGebra
|