Hauptsatz: Beweis Teil (b)

Sei die Funktion f im Intervall [a, b] stetig, dann gilt:
  
b) Integralberechnung
Mit einer beliebigen Stammfunktion F von f kann das bestimmte Integral auf folgende Art berechnet werden:
Beweis b): Anschauliche Begründung

Wie wir in Teil a gesehen haben, ist die Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion)  A(x) eine Stammfunktion von f. Alle anderen Stammfunktion F(x) können sich deshalb nur um eine additive Konstante c von A(x) unterscheiden.

F(x) = A(x) + c ()
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Aufgabe  

  • Verändere den Wert für c mit dem Schieberegler!

  • Verschiebe die Grenzen a und b!

  • Verschiebe den Graphen der Funktion f nach oben und unten bzw. nach links und rechts!

  • Überzeuge dich davon, dass die Differenz F(b) - F(a) stets gleich ist dem Wert von A(b)!

 

Formaler Beweis
Sei F(x) = A(x) + c

Für x = a folgt: F(a) = A(a) + c = = 0 + c 

 =>  F(a) = c ;

für x = b folgt:  F(b) = A(b) + c = + c 

 => = F(b) - c = F(b) - F(a)

q.e.d.