DERIVE 6

Grafik 2D - Parameterdarstellungen

Inhalt:

Gerade
Ellipse
Wurfparabel

Neben der 'normalen' Form des xy-Graphen unterstützt DERIVE auch Parameterdarstellungen ebener Kurven. Wir beschreiben den Zustand von x und y durch eine Liste mit zwei Funktionstermen, abhängig von einem Parameter:

[f₁(t), f₂(t)]

x = f₁(t)
y = f₂(t)

Übung - Gerade in Parameterform

Algebrafenster

Wir definieren eine Gerade in Parameterform durch: g : X = Punkt + t ^.vektor
(kurz: g: X = P + t^.v), wobei der Parameter t ein Skalar ist - eine beliebige reelle Zahl.

Wir setzen den Punkt P(1, 2) und legen einen Richtungsvektor v = (1, 1) fest.

Beim anschließenden Plot wird der Parameter abgefragt - in welchen Grenzen soll t laufen! Die Wahl könnte hier zB. -10 bis 10 für eine sinnvolle Darstellung sein.

Plot

Hinweis - DERIVE verwendet standardmäßig die Parameter t (2D) bzw. s und t im 3D!

Übung - Ellipse

Beim Plot der Parameterdarstellung müssen wieder über ein Dialogfenster die Intervallgrenzen eingegeben werden, in denen der Parameter ablaufen soll.

Wir betrachten dies am Beispiel der Ellipse:
Term

Wir definieren die Funktion in DERIVE

Plot:
Plot

Dialog

Übung - Wurfparabel

Gerade in der Physik ergeben sich oft Problemstellungen, die über Parameterdarstellung einfacher erklärbar sind. Ein Beispiel dafür ist die Wurfparabel.

Ein im Winkel α und mit Anfangsgeschwindigkeit v₀ abgeschossener Körper bewegt sich (proportional zur Zeit) mit: v₀ cos(α) * t ... in x-Richtung (t .. verstrichene Zeit); v₀ sin(α) * t ... in y-Richtung

Die Schwerkraft zieht in beschleunigt (Gravitation, Beschleunigung = proportional zum Quadrat der Zeit) auf den Boden herunter. In y-Richtung wirkt daher zusätzlich (negativ!!) die Kraft: -g/2 * t²

Wir erhalten damit die Funktion: Wurfparabel

Wir berechnen die Wurfparabel für v₀ = 15 m/s, Abschusswinkel α = 60° und Gravitation g = 10 m/s²

Parabel1

Graph

Hinweis - die Einstellung APPROXIMIEREN VOR DEM ZEICHNEN sollte bei Parameterdarstellungen vorher im Menü EXTRAS aktiviert werden, da DERIVE sonst Schwierigkeiten beim Plot bekommt.