Betrachte die Funktion: f(x)=x^3-12ax-2

define(f(x),x^3-12*a*x-2);

Für welche Werte von a hat diese Funktion in R zwei Extremstellen, eine Extremstelle, keine Extremstelle?

liste:makelist(f(x),a,-3,3);

Graphische Betrachtung der Kurvenschar

wxplot2d(liste,[x,-6,6],[y,-100,100]);

define(f1(x),diff(f(x),x));

define(f2(x),diff(f(x),x,2));

solve(f1(x)=0,x);

Für a<0 keine reellen Lösungen, für a=0 eine Doppellösung mit x=0, für a>0 zwei Lösungen!

Für welches a berührt der Graph der Funktion die x-Achse?

liste1:makelist(a/10,a,-5,5);

liste2:makelist(f(x),a,liste1);

wxplot2d(liste2,[x,-3,3],[y,-5,5]);

Intuitive Lösung aus der graphischen Betrachtung: a zwischen 1/5 und 3/10!

f(2*sqrt(a));

f(-2*sqrt(a));

solve(-16*a^(3/2)-2=0,a);

solve(16*a^(3/2)-2=0,a);

Die einzige reelle Lösung lautet a=1/4

Diskutiere die Funktion mit a=1/4

wxplot2d(subst(1/4,a,f(x)),[x,-3,3],[y,-6,6]);

Nullstellen

solve(subst(1/4,a,f(x))=0,x);

solve(subst(1/4,a,f1(x))=0,x);

[subst(1/4,a,f(-1)),subst(1/4,a,f(1))];

[subst(1/4,a,f2(-1)),subst(1/4,a,f2(1))];

Extrempunkte: Maximum bei (-1/0), Minimum bei (1/-4)

solve(subst(1/4,a,f2(x)=0),x);

subst(1/4,a,f(0));

Wendepunkt bei (0/-2)

Für welches a hat f(x) nur eine reelle Nullstelle, für welche a drei reelle Nullstellen
Eine reelle Nullstelle bei a<1/4 (Funktionswert des Extremums kleiner als Null!
Für a >1/4 existiert immer ein Maximum mit y>0 und ein Minimum mit y<0, daher drei Nullstellen!