Maxima

Grafik 2D - Parameterdarstellungen

Inhalt:

Neben der "normalen" Form des xy-Graphen unterstützt MAXIMA auch Parameterdarstellungen ebener Kurven. Wir beschreiben den Zustand von x und y durch zwei Funktionsterme, abhängig von einem Parameter:

f(t) := [f1(t), f2(t)]

  • x = f(t)[1]
  • y = f(t)[2]

Übung - Gerade in Parameterform

Geradendefinition

Wir definieren eine Gerade in Parameterform durch: g : X = Punkt + t .vektor
(kurz: g: X = P + t.v), wobei der Parameter t ein Skalar ist - eine beliebige reelle Zahl.

Wir setzen den Punkt P(1, 2) und legen einen Richtungsvektor v = (1, 1) fest.

Um die Gerade nun plotten zu können, müssen im Plotbereich bestimmte Parameter gesetzt werden. Wenn der Plot händisch durchgeführt werden soll, setzt man:
plot2d([parametric,fx(t),fy(t),<[nticks,Zahl]>,[t,min,max]], ...), wobei

  • parametric ... legt fest, dass hier ein parametrischer Plot kommt
  • fx ... Funktionsteil für den x-Bereich
  • fy ... Funktionsteil für den y-Bereich
  • [nticks,Zahl] ... legt die Anzahl der gezeichnete Punkte fest, ist zwar optional, muss aber meist für eine vernünftige Plot-Qualität gesetzt (= erhöht) werden.
  • [t,min,max] ... Laufweite des Parameters t, von min bis max

Beim anschließenden Plot wird der Parameter abgefragt - in welchen Grenzen soll t laufen! Die Wahl könnte hier zB. -7 bis 7 für eine sinnvolle Darstellung sein. nticks wird für eine "glatte" Darstellung auf 100 gesetzt.

Unser Plotterm mit f(t)[1] = t+1 und f(t)[2] = t+2 lautet also:
wxplot2d([parametric,f(t)[1], f(t)[2], [nticks,100], [t,-7,7]], [x,-5,5], [y,-5,5]);

Plot

Hinweis - MAXIMA verwendet im 2-dimensionalen parametrischen Plot standardmäßig den Parameter t.

Dialogsteuerung in WXMAXIMA

MAXIMA ermöglicht auch die Eingabe mit Hilfe eines Dialogs. Zuerst wird über das Menü oder den Dialogbutton der 2D-Plot-Dialog ausgelöst.

Dialog1

Unter Besondere Werte wird auf Parametric Plot gestellt - damit öffnet sich ein weiteres Dialogfenster für die "Feineinstellungen".

Dialog2

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Übung - Ellipse

Beim Plot der Parameterdarstellung müssen wieder die Intervallgrenzen eingegeben werden, in denen der Parameter t ablaufen soll.

Wir betrachten dies am Beispiel der Ellipse:
Term

Wir definieren die Funktion in MAXIMA
Definition

Plot:
Plot

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Übung - Wurfparabel

Gerade in der Physik ergeben sich oft Problemstellungen, die über Parameterdarstellung einfacher erklärbar sind. Ein Beispiel dafür ist die Wurfparabel.

Ein im Winkel α und mit Anfangsgeschwindigkeit v0 abgeschossener Körper bewegt sich (proportional zur Zeit) mit
v0 cos(α) * t ... in x-Richtung (t .. verstrichene Zeit)
v0 sin(α) * t ... in y-Richtung
Die Schwerkraft zieht ihn beschleunigt (Gravitation, Beschleunigung = proportional zum Quadrat der Zeit) auf den Boden herunter. In y-Richtung wirkt daher zusätzlich (negativ!!) die Kraft
-g/2 * t2

Wir erhalten damit die Funktion: Wurfparabel

Wir berechnen die Wurfparabel für v0 = 15 m/s, Abschusswinkel α = 60° und Gravitation g = 10 m/s2

Parabel1

Graph

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© PH-NOe, letzte Änderung am 1. Juli 2007, erstellt von Walter Wegscheider