Didaktischer Kommentar: Vektorrechnung in der Ebene, Teil 2

Rollfeld Aufbauend auf Teil 1 wird in diesem Lernpfad das Wissen über Vektoren erweitert, und Begriffe wie Einheitsvektor, Normalvektor, Skalarprodukt, Parameterdarstellungen erklärt und interaktiv erforscht. Die Schülerinnen und Schüler sind dabei angehalten, nach konkreten Aufgabenstellungen vorzugehen, Fragen zu beantworten und Lösungsmöglichkeiten zu entwickeln. Anschauliche Beispiele aus der Praxis und den Naturwissenschaften lassen die Sinnhaftigkeit der Vektorrechnung einsichtig werden. Wie in Teil 1 ist eine Anleitung zum Arbeiten mit Vektoren in GeoGebra und in Computer-Algebra-Systemen im Lernpfad enthalten.

Kurzinformation
Schulstufe	9. Schulstufe
Dauer	4 - 6 Stunden
Unterrichtsfächer	Mathematik
Verwendete Medien	Java-Applets, Dynamische Geometrie Software (DGS)
Technische Voraussetzungen	Java
Autoren	Andreas Lindner, Markus Hohenwarter, Thomas Himmelbauer, Anita Dorfmayr

Voraussetzungen für die Lehrkraft

technische Voraussetzungen: Java, Umgang mit dem Internet
fachliche Voraussetzungen: Vektorrechnung im R² auf elementarem Niveau

Verlaufsplan / Prozesshinweise

Grundsätzlich wäre für ein effizientes Arbeiten pro Schüler/Schülerin ein PC notwendig; allerdings ist auch eine Partnerarbeit an einem Gerät bei entsprechender Abstimmung der Lerngeschwindigkeiten der beiden Partner durchaus möglich. Das Arbeiten am Computer wird öfter durch Aufgabenstellungen, die im Heft durchzuführen sind, unterbrochen, weshalb idealerweise für ausreichend freien Arbeitsplatz zwischen den PCs gesorgt sein sollte.

Abhängig von den aüßeren Gegebenheiten in der jeweiligen Klasse (ständige Verfügbarkeit von Computern in Notebookklassen, sporadische Einsatzmöglichkeit eines PCs im Informatik-Saal,...) unterliegt eine Anpassung des vorliegenden Lernpfades dem unterrichtenden Lehrer/Lehrerin. So könnten bei ständigem Einsatz von Notebooks etwa Übungsaufgaben mit dynamischer Geometrie - Software wie GeoGebra oder mit CAS-Systemen wie Derive bearbeitet werden und anschließend über Lernplattformen abgegeben werden.

Einstieg: Vorwissen / Voreinstellungen aktivieren

Vektorrechnung in der Ebene, Teil 1
Koordinatenweise Angabe eines Pfeils, Länge eines Pfeils, Pfeile und Vektoren, Gegenvektor, Vektoraddition, Vektorsubtraktion, Rechenregeln, Vielfaches eines Vektors.

Neuigkeiten: Neue Kenntnisse / Verfahrensweisen erarbeiten

Verbalisieren von Sachverhalten, die in den Applets erarbeitet worden sind.
Formulieren von Zusammenhängen und selbständiges Aufstellen von mathematischen Formeln.
Neue Kenntnisse über Einheitsvektor, Streckenteilung, Parameterdarstellung einer Geraden , Normalvektoren (Erklärung, Herleitung), Skalarprodukt, Winkel-Vektoren (Formel, Herleitung) gewinnen und festigen
Die Notwendigkeit von Vektoren in den Anwendungen (Rollfeld 1, Rollfeld 2, Kräftegleichgewicht) verstehen.
Rechenoperationen mit zweidimensionalen Größen kennenlernen
Verbinden von rechnerischen und graphischen Lösungsmöglichkeiten.

Herausforderungen: Komplexere Anwendungs- / Transferaufgaben

Schnittpunkt von Geraden berechnen.
Herleitung der Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Lernmedien der SchülerInnen

Computer, Heft, Buch, Lernplattform.

Leistungsbeurteilung

Bewertung der Mitarbeit, entsprechende Schularbeitsbeispiele, Hausübungsbeispiele in der Lernplattform, schriftliche Überprüfung der Mitarbeit.

Die Leistungsbeurteilung hängt sehr stark von den im Verlaufsplan besprochenen Umständen ab. So wird sich die Beurteilung prinzipiell bei Einsatz einer Lernplattform auf andere Kriterien stützen müssen als bei Einsatz des Lernpfades zur Wiederholung und Festigung eines schon großteils bekannten Lerninhalts.

Kombination der Medien

In dem vorliegenden Lernpfad wird versucht, durch interaktive Applets das erforschende Lernen der SchülerInnen zu fördern. Die neu gewonnenen Erkenntnisse sollen im Anschluss daran durch händisches Rechnen im traditionellen Sinn vertieft und gefestigt werden. Viele der Aufgabenstellungen sind eine Verflechtung von Arbeiten am PC und Rechnen mit Papier und Bleistift., wobei die Lösungen der Übungen entweder aus der Konstruktion ersichtlich sind oder explizit als solche angeführt werden.
Der Lernpfad versteht sich nicht als detaillierte Anleitung zum Arbeiten mit CAS, sondern gibt nur exemplarisch Lösungsmöglichkeiten zu konkreten Aufgabenstellungen an. Dabei ergänzt eine Auflistung der wichtigsten Befehle für Derive, MuPad und TI 92/Voyage 200 das Angebot..

Rolle des Lernpfads im Themenbereich

Teil 1 dieses Lernpfades ist Voraussetzung für das Verständnis des zweiten Teils dieses Lernpfades. Zusammen decken diese beiden Lernpfade die Grundlagen des Themenbereichs "Vektorrechnung" in der 9. Schulstufe ab,wobei alle relevanten Begriffe erklärt und die entsprechenden Rechenoperationen vorgestellt werden.

Lerninhalte und Lernziele

Lerninhalt	Lernziel
Einheitsvektor	Die Notwendigkeit für die Einführung von Einheitsvektoren verstehen und Einheitsvektoren berechnen können.
Streckenteilung	Verbalisieren des entspechenden Sachverhalts zur Berechnung von Teilungspunkten. Eine Formel zum Abtragen von Strecken entwickeln können.
Parameterdarstellung einer Geraden	Arbeitsschritte entsprechend der Anleitung richtig durchführen. Eine Formel für die Parameterdarstellung einer Geraden entwickeln können.
Anwendung 1 Rollfeld 1 Beispiel mit CAS	Die Verbindung von realer Situation und mathematischem Modell erkennen können. Die Aufgaben entsprechend der Anleitung durchführen und beantworten können.
Normalvektoren Erklärung Herleitung	Normalvektoren rechnerisch angeben können. Die gestellten Fragen beantworten können.
Anwendung 2 Einleitung Beispiel mit CAS	Die Verbindung von realer Situation und mathematischem Modell erkennen können. Die Aufgaben entsprechend der Anleitung durchführen und beantworten können.
Skalarprodukt	Die Mehrdeutigkeit von Normalvektoren wiedergeben können. Die Begründung für die Formulierung des Skalarprodukt verstehen und ein Skalarprodukt berechnen können.
Winkel-Vektoren Formel Herleitung	Den Zusammenhang zwischen Winkel und Skalarprodukt verstehen. Den Winkel zwischen Vektoren berechnen können.
Anwendung 3 Kräftegleichgewicht	Die Verbindung von realer Situation und mathematischem Modell erkennen können.
Anleitungen	Die Anleitungen verwenden und effizient einsetzen können.