Handybeispiel (1)   

Ein Beispiel für einen Zusammenhang zwischen Größen ist die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit. Sie kann in Worten beschrieben oder durch eine Formel ausgedrückt werden.

Aufgabe: Ein Handybetreiber bietet folgenden Tarif an: Die monatliche Grundgebühr beträgt 15 €. Für 1 Minute telefonieren in alle Netze Österreichs werden 0,06 € verrechnet. Die Abrechnung erfolgt minutengenau (d.h. für eine angebrochene Minute wird der volle Preis für 1 Minute verrechnet). Um schnell ermitteln zu können, wie hoch die Rechnung für eine gegebene Gesprächszeit ist, ist es praktisch, eine Formel dafür zur Hand zu haben:

• Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung für eine Gesprächszeit von 1 min!
• Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung für eine Gesprächszeit von 2 min!
• Berechne die Höhe der monatlichen Handyrechnung, wenn die Gesprächszeit (in Minuten) mit t bezeichnet wird!

Tipp: Trage die Geldbeträge in die folgende Tabelle ein! Fällt dir eine Gesetzmäßigkeit auf, die es dir erlaubt, auch die letzte Zeile auszufüllen?

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl, beispielsweise:

Derive (Speichern und Auswerten einer Formel)

Handybeispiel (2)   

Die Abhängigkeit der Höhe der Telefonrechnung von der Gesprächszeit kann in Form einer Tabelle dargestellt werden.

Aufgabe: In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Formel für die Handyrechnung aufgestellt. Sie beschreibt, wie die Höhe der Rechnung von der Gesprächszeit abhängt.

An der Hotline des Handyanbieters sitzt ein Mitarbeiter, der Formeln nicht ausstehen kann! Dennoch muss er vielen AnruferInnen mitteilen, wie hoch ihre Rechnung sein wird, wenn sie soundsoviel telefonieren. Er bevorzugt die Verwendung einer Tabelle, in der alle für ihn relevanten Zahlen stehen.

Erstelle mit einem Werkzeug deiner Wahl eine Tabelle für den Betreuer der Hotline! Sie soll die Höhe der Rechnung für alle Gesprächszeiten bis 200 Minuten enthalten:

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl, beispielsweise:

	Voyage/TI 92 (Erstellen einer Tabelle)
	Derive (Erstellen einer Tabelle)
	Tabellenkalkulation (Erstellen einer Tabelle)

Handybeispiel (3)   

Mit Hilfe einer Tabelle lassen sich verschiedene Fragen schnell beantworten.

Aufgabe: In der vorhergehenden Aufgabe hast du eine Wertetabelle erstellt, die der Betreuer der Handy-Hotline benutzen kann, um Fragen zu den Telefonkosten zu beantworten. Umgegend erhält er einige Anrufe. Nimm die Tabelle zur Hand und hilf ihm, die richtigen Auskünfte zu erteilen!

Schachtelbeispiel (1)   

Ein Beispiel für eine Abhängigkeit zwischen geometrischen Größen entsteht beim Basteln einer Schachtel.

Aufgabe: Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. Betrachte dazu die Flash-Animation

Aufgabenstellung

Wir werden uns in den nächsten Lernschritten damit beschäftigen, wie die Schachtel dimensioniert werden muss, damit ihr Volumen möglichst groß ist. Dazu fragen wir zunächst, wie groß ihr Volumen überhaupt ist! Das hängt natürlich davon ab, wie groß die Quadrate sind, die zunächst herausgeschnitten wurden.

• Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 1 beträgt!
• Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 2 beträgt!
• Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird!

Schachtelbeispiel (2)   

Die Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. Allerdings können wir nicht alle reellen Zahlen aufzählen und müssen uns daher auf einzelne ausgewählte Werte beschränken. Dementsprechend können aus einer Abhängigkeit verschiedene Tabellen (die sich z.B. durch die Schrittweite unterscheiden) gewonnen werden.

Aufgabe: In der vorhergehenden Aufgabe wurde das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von x, der Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate, berechnet. Was nützt uns eine solche Formel? Wir können die durch sie beschriebene Abhängigkeit auf verschiedene Weisen darstellen. Eine Darstellungsform ist die Wertetabelle, d.h. eine Auflistung von ausgewählten Werten von x mit den zugehörigen Werten von V(x). Eine einfache Wertetabelle sieht so aus:

Sie besagt: Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 1, so ist das Volumen der Schachtel 16. Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 2, so ist das Volumen der Schachtel 8.

Wir wollen es aber jetzt genauer wissen! Erstelle aus der Formel V(x) = (6 - 2x)²x für das Schachtelvolumen

• eine Wertetabelle für Werte von x zwischen 0 und 3 mit einer Schrittweite von 0.3, und
• eine Wertetabelle für Werte von x zwischen 0 und 3 mit einer Schrittweite von 0.1!

Benutze dabei ein Werkzeug deiner Wahl, beispielsweise den CAS-Rechner Voyage/TI 92, Derive oder Tabellenkalkulation.

Beachte: Die idealen Werkzeuge zum Erstellen und Manipulieren von Tabellen sind, wie schon der Name sagt, die Tabellenkalkulationsprogramme (z.B. Excel). CAS-Rechner wie Voyage und TI 92 bieten zwar gewisse Möglichkeiten in dieser Richtung, sind aber ein bisschen schwerfällig, insbesondere wenn es um Tabellen mit vielen Einträgen und um Vergleiche mehrerer Tabellen geht.

Wenn du die Tabellen fertiggestellt hast, betrachte die in ihnen stehenden Zahlen. Beantworte die folgenden Fragen:

1. Wie ist x zu wählen, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist dieses maximale Volumen?
2. Verfolge und beschreibe in eigenen Worten, wie sich die Werte von V mit wachsendem x verändern. Erkläre ihr Verhalten! Warum ist das Volumen zunächst klein, wächst dann an und wird schließlich wieder kleiner?
3. Wie genau ist deine Antwort auf die Frage 1?

Definition des Funktionsbegriffs   

In den bisherigen Aufgaben ist es darum gegangen, Abhängigkeiten

• durch eine Formel auszudrücken und
• in Tabellenform wiederzugeben

Was haben das Handybeispiel und das Schachtelbeispiel gemeinsam? In beiden Fällen haben wir Vorschriften betrachtet, die es gestatten,

einem gegebenen Objekt		ein anderes, davon abhängiges Objekt
z.B. die Länge der Quadratseite x		das Schachtelvolumen V(x)

zuzuordnen. Diese Idee der Zuordnung ist in der Mathematik sehr wichtig. Dabei können wir an ganz unterschiedliche Objekte (wie beispielsweise natürliche Zahlen oder reelle Zahlen) denken.

Wir wollen nun etwas genauer formulieren, wie die Idee der Zuordnung für die Mathematik nutzbar gemacht werden kann. Dazu müssen wir - wie es dem Genauigkeitsanspruch der Mathematik entspricht - für jede konkrete Zuordnung festlegen, um welche Objekte es sich dabei handelt. Wir fassen alle möglichen "gegebenen Objekte" in einer Menge A zusammen und stellen uns vor, dass alle möglichen "abhängigen Objekte" in einer Menge B liegen. So gelangen wir zur Definition des Funktionsbegriffs, wie er in der Mathematik seit mehr als 100 Jahren verwendet wird:

Bezeichnungen:

• Die Menge A nennen wir Definitionsmenge, die Menge B heißt Zielmenge.
• Wie andere mathematische Objekte auch werden Funktionen mit Symbolen (in der Regel mit Buchstaben) bezeichnet. Bezeichnen wir eine Funktion von A nach B mit dem Buchstaben f, so schreiben wir dafür auch
  
  f : A B
  (ausgesprochen: "f ist eine Funktion von A nach B").
• Wir sagen auch: Jedes x A wird von der Funktion f auf ein Element von B abgebildet. Dieses Element von B schreiben wir als
  
  f(x).
  Funktionen werden manchmal auch Abbildungen genannt.
• Lässt sich durch einen Term (d.h. durch eine Formel) angeben, wie f(x) aus x ermittelt wird, so sprechen wir von einer "Termdarstellung der Funktion f". So ist beispielsweise durch die Termdarstellung
  
  f(x) = x²
  jene Funktion definiert, die jedem Element der Definitionsmenge sein Quadrat zuordnet. Die Aussage f(x) = x² wird auch als Funktionsgleichung bezeichnet. Eine andere Schreibweise dafür ist
  
  f : x x².
  Eine Termdarstellung ist eine durch einen Term ausgedrückte Zuordnungsvorschrift.

Die meisten elektronischen Rechenwerkzeuge gestatten es, eine Funktion, d.h. eine Zuordnungsvorschrift einzugeben, um sie später bei Bedarf anwenden zu können.

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten   

Funktionen beschreiben Abhängigkeiten zwischen Größen.

Wenn eine Größe (z.B. der Flächeninhalt eines Quadrats) von einer anderen Größe (z.B. die Seitenlänge) abhängt, so kann diese Abhängigkeit durch eine Funktion beschrieben werden. Bezeichnen wir den Flächeninhalt mit F und die Seitenlänge mit a, so ist F = a². Das ist zunächst nur eine "Formel".

Motiviert durch diese Formel können wir eine Funktion definieren:

• Zuordnungsvorschrift (Termdarstellung):
  
  F(a) = a².
  Das bedeutet: Der Flächeninhalt wird gewonnen, indem die Seitenlänge quadriert wird.
   
• Angabe von Definitions- und Zielmenge:

  Definitionsmenge = Menge R⁺ aller positiven reellen Zahlen
  Zielmenge = Menge R aller reellen Zahlen

  Wir können das in Kurzform als
  
  F : R⁺ R
  anschreiben. Das bedeutet: Jeder positiven reellen Zahl (der Seitenlänge) wird eine reelle Zahl (der Flächeninhalt) zugeordnet.

Beachte, dass der Begriff der "Funktion" schärfer als jener der "Formel" ist!

Der Name der abhängigen Größe wird oft (wie auch im obigen Beispiel) als Name der Funktion verwendet. Durch die Schreibweise F(a) = a² wird ausgedrückt, wie F von a abhängt.

Achtung: Der Schritt von einer Formel zu einer Funktion ist nicht immer eindeutig. So könnte man durchaus auch bei der Quadratfläche den Grenzfall a = 0 zulassen und als Definitionsmenge R⁺₀ = { x R | x 0} wählen. Als Zielmenge könnte man statt R genauso gut R⁺₀ (oder, wenn die Definitionsmenge R⁺ ist, ebenfalls R⁺) angeben.

Handybeispiel (4)   

In dieser Aufgabe sollst du den bereits bekannten Zusammenhang zwischen der Gesprächsdauer und der Höhe der Telefonrechnung als Funktion formulieren.

• Welche Werte von t sind zulässig, welche nicht?
• Welche Möglichkeiten hast du, H im strengen mathematischen Sinn als Funktion
  H: A B
  zu definieren? Gib die Definitions- und Zielmenge an!
• Gib die abhängige und die unabhängige Variable an!
• Gib die Funktionswerte für t = 0, 15, 43 und 167 an!
• Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 16,5; 18,84; 26,1?

Schachtelbeispiel (3)   

In dieser Aufgabe sollst du einen bereits bekannten Zusammenhang zwischen geometrischen Größen als Funktion formulieren.

• Welche Werte von x sind im Rahmen dieses Beispiels (sinnvollerweise) zulässig, welche nicht?
• Welche Möglichkeiten hast du, V im strengen mathematischen Sinn als Funktion
  V: A B
  zu definieren? (Tipp: Setze die Werte x = 4, x = 10 und x = -1 ein und berechne jeweils V(x). Was bedeuten die Resultate?) Gib Definitions- und Zielmenge an!
• Gib die Funktionswerte für x = 0,5; 1,3 und 2,4 an!
• Für welche Argumente ergibt sich ein Funktionswert von 6,272; 12,544 bzw. 0,972?

Funktionen grafisch darstellen   

Abhängigkeiten zwischen Größen können auf grafische Weise dargestellt werden. Auch diese Darstellungsform kann mathematisch genauer gefasst werden:

Definition: Der Graph einer Funktion f : A B ist die Menge aller Paare (x, f(x)), d.h. die Menge { (x, f(x) | x A } . Falls es sich bei A und B um Zahlenmengen handelt, kann jedes Paar (x, f(x)), wie in der Skizze gezeigt, als Punkt in der Zeichenebene dargestellt werden. In diesem Fall ist der Graph eine Teilmenge der Zeichenebene. (Für viele Funktionen, die du kennen lernen wirst, ist er eine Kurve.)

Um Funktionen grafisch darzustellen, kannst du eine Vielzahl elektronischer Werkzeuge benutzen. Einige davon kannst du in den folgenden Aufgaben kennen lernen.

Schachtelbeispiel (4)   

Mit Hilfe der grafischen Darstellung einer Funktion können manche Aufgabenstellungen ganz bequem gelöst werden.

Aufgabe: In der Aufgabe "Schachtelbeispiel (2") hast du zwei Wertetabellen für den Zusammenhang zwischen V und x erstellt.

• Stelle den Zusammenhang grafisch auf Papier dar!
  (Tipp: Jede Zeile in einer Wertetabelle wird durch einen Punkt in der Zeichenebene dargestellt. Wähle einige beliebige Zeilen einer Wertetabelle aus und zeichne die entsprechenden Punkte in der Ebene ein! Der Graph ist die Menge aller Punkte, die du auf diese Weise einzeichnen könntest: er ist eine Kurve).
• Stelle den Zusammenhang mit einem geeigneten Werkzeug grafisch dar!

Für die zweite Aufgabenstellung benutze ein Werkzeug deiner Wahl, beispielsweise

	den mathe online Funktions-Plotter (zeichnet den Graphen einer Funktion, aus mathe online)
	GeoGebra (kann den Graphen einer Funktion zeichnen, online: GeoGebra-Homepage)

oder:

	Voyage/TI 92 (Den Graphen einer Funktion zeichnen)
	Derive (Den Graphen einer Funktion zeichnen)
	Tabellenkalkulation (Erstellen eines Graphen aus einer Tabelle)

Nun kehre zur ursprünglichen Fragestellung zurück und beantworte mit Hilfe des erstellten Graphen die Fragen:

• Wie ist x zu wählen, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird?
• Wie groß ist dieses maximale Volumen?
• Wie genau kannst du diese Fragen mit Hilfe der Grafik beantworten?
• Vergleiche deine Antwort mit jenen, die du in der Aufgabe "Schachtelbeispiel (2)" aus deinen Wertetabellen gewonnen hast!

Handybeispiel (5)   

Auch der Zusammenhang zwischen der Gesprächszeit und der Höhe der Telefonrechnung kann grafisch dargestellt werden.

Aufgabe: Erinnere dich an die Wertetabelle für den Betreuer der Handy-Hotline (Handybeispiel (2))! Sie beschreibt, wie die Höhe H der Handy-Rechnung von der Gesprächszeit t abhängt. Stelle die ersten zehn Zahlenpaare grafisch auf Papier dar!

Stelle diese Abhängigkeit (bis zu einer sinnvollen Obergrenze für t) grafisch dar! (Der Graph ist in diesem Beispiel eine endliche Menge von Punkten in der Zeichenebene, ein so genannter Punktgraph). Verwende dabei ein Werkzeug deiner Wahl, beispielsweise:

	Voyage/TI 92 (Einen Punktgraphen zeichnen)
	Derive (Einen Punktgraphen zeichnen)

Unser Hotline-Betreuer bekommt einen neuerlichen Anruf: Irene möchte im Monat höchstens 20 € fürs Telefonieren ausgeben. Wie viele Minuten darf sie dann telefonieren?

• Benutze zuerst die von dir erstellte Grafik, um diese Frage zu beantworten!
• Danach benutze die von dir erstellte Wertetabelle, um die Frage zu beantworten!

Sind die beiden Antworten gleich? (Und sind sie gleich genau?) Welche Methode fällt dir leichter?

Geschwindigkeitsmessung   

Aufgabe: An einer Straße wird die Zeit, die vorbeifahrende Autos benötigen, um eine gekennzeichnete Strecke von 100 Metern zu durchfahren, gemessen. Wird die Zeitspanne t (in Sekunden) gemessen, so ergibt sich daraus eine Geschwindigkeit von

• Benutze ein Tool deiner Wahl, um die Zuordnung t v(t) grafisch darzustellen!
• Erstelle eine Wertetabelle!
• Definiere v als Funktion v: A B! Begründe deine Wahl der Definitionsmenge A und der Zielmenge B!
• Beschreibe in eigenen Worten, wie sich v für kleine und große t verhält! Wie zeigt sich dieses Verhalten an der Lage und Form des Graphen?

Rechtwinkeliges Dreieck   

Aufgabe: Von einem rechtwinkeligen Dreieck mit Hypotenuse 1 ist eine Kathete a gegeben.

• Drücke die andere Kathete b durch a aus!
• Benutze ein Tool deiner Wahl, um die Zuordnung a b(a) grafisch darzustellen!
• Erstelle eine Wertemenge mit Schrittweite 0,1!
• Formuliere die Zuordnung als Funktion b: A B! Begründe deine Wahl der Definitionsmenge A und der Zielmenge B!
• Wie verhält sich der Funktionswert, wenn a nahe bei 1 liegt? Wie zeigt sich dieses Verhalten an der Lage und Form des Graphen?

Zug und Baustelle   

Aufgabe: Von einem Eisenbahnzug wird durch das automatische Sicherheitssystem jede Minute die Position (in km vom Abfahrtbahnhof) ermittelt und aufgezeichnet:

Betrachte die Zahlen in der Tabelle! Wie ist die Fahrt verlaufen? Kannst du herausfinden, wo auf der Strecke sich eine Baustelle befindet, die zum Langsamfahren zwingt?

Tipp: Die Zahlen der Tabelle nacheinander durchzugehen und zu vergleichen, ist ein bisschen mühsam. Den schnellsten Überblick über den Verlauf der Fahrt erhältst du mit Hilfe einer grafischen Darstellung. Stelle den durch die Tabelle gegebenen Zusammenhang zwischen der vergangenen Zeit und der erreichten Position des Zuges mit einem geeigneten Werkzeug grafisch dar! Falls du Excel verwendest, kannst du die Tabelle direkt in ein Arbeitsblatt kopieren. Falls du einen CAS-Rechner verwendest:

Voyage/TI 92 (Eine Tabelle im DataMatrix-Editor grafisch darstellen)

Kannst du anhand der Grafik nun leichter erkennen, wo sich die Baustelle befindet?

Bremsweg   

• Aufgabe: Für eine bestimmte PKW-Marke lässt sich der Bremsweg B (in Metern) bei einer Geschwindigkeit v (in km/h) in einer bestimmten Bremssituation durch folgenden Term darstellen:
  B(v) = 0,00856 v².
  
• Formuliere diese Abhängigkeit als Funktion (d.h. wähle Definitions- und Zielmenge)!
• Stelle die Funktion mit einem geeigneten Werkzeug grafisch dar!
• Beschreibe das Verhalten des Bremsweges in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit in deinen eigenen Worten!
• Zeige dass B(30) = 7,704 gilt. Was bedeutet diese Aussage?
• Lies aus dem Graphen folgende Werte ab: Wie lang ist der Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 25 km/h; 72 km/h; 104 km/h; 143 km/h?
  Kontrolliere die abgelesenen Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung!
• Bei welcher Geschwindigkeit ergibt sich ein Bremsweg von ca. 1 m; 35 m; 74 m; 138 m?
  Kontrolliere die abgelesenen Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung!

Temperaturkurve   

Aufgabe: Rufe die interaktive Animation

Temperaturkurve
(aus der Galerie von mathe online)

auf! Mit Hilfe dieser interaktiven Animation kannst du einen zeitlichen Temperaturverlauf bestimmen und mitverfolgen, wie die grafische Darstellung zustande kommt. Bearbeite die in der Animationen eingebauten Aufgabenstellungen!

Funktionale Abhängigkeiten verstehen   

Aufgabe: Rufe das Applet

Funktionale Abhängigkeiten verstehen
(aus der Galerie von mathe online)

auf! Es zeigt eine weitere Darstellungsmöglichkeit für funktionale Abhängigkeiten. Mache dich mit der Funktionsweise dieses Werkzeugs vertraut! Studiere mit seiner Hilfe die Funktion

y(x) = x² - 5x + 6.

Für welche Werte von x ist y(x) = 0? (Damit hast du die Gleichung x² - 5x + 6 = 0 gelöst!)

Mit diesem Tool kannst du auch das Schachtelbeispiel ein letztes Mal behandeln. Beantworte mit seiner Hilfe die Frage, für welches x das Volumen der Schachtel maximal ist!

Erweitertes Schachtelbeispiel   

Zum Abschluss eine Verallgemeinerung des Schachtelbeispiels, in dem nicht von einem quadratischen, sondern von einem rechteckigen Stück Papier ausgegangen wird.

Aufgabe: Aus einem rechteckigen Stück Papier (Seitenlängen 8 und 10) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt.

• Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird!
• Erzeuge mit einem Werkzeug deiner Wahl eine Wertetabelle für diese Abhängigkeit!
• Stelle diese Abhängigkeit mit einem Werkzeug deiner Wahl grafisch dar!
• Formuliere diese Abhängigkeit im mathematisch strengen Sinn als Funktion (d.h. wähle Definitions- und Zielmenge)!
• Benutze die Wertetabelle und/oder den Graphen, um herauszufinden, wie x gewählt werden muss, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird!

Graph oder nicht Graph   

Aufgabe: Rufe den interaktiven Test

Graph oder nicht Graph
(aus den Interaktiven Tests von mathe online,
steht nur online zur Verfügung)

auf! Welche der Kurven stellen einen Funktionsgraphen dar? Falls dir dieser Test schwer fällt, wiederhole den genauen Wortlaut der Definition des Funktionsbegriffs: Jedem Element der Menge A wird genau ein Element der Menge B zugeordnet.

Zusammenfassung   

Aufgabe: Verfasse eine in deinen eigenen Worten formulierte Zusammenfassung des Gelernten! Was erschien dir besonders wichtig? Was hast du gut, was weniger gut verstanden? Bleiben offene Fragen?

Hebe deine Zusammenfassung gut auf!