Flächeninhaltsfunktion

Die Berechnung des bestimmten Integrals als Grenzwert von Unter- und Obersumme ist aufwändig und langwierig. Wir wollen daher nach einer Möglichkeit suchen, wie man das bestimmte Integral einer Funktion einfacher berechnen kann.

Im rechten Fenster ist das bestimmte Integral von f(x) = x² in einem Intervall [a, b] zu sehen. Bei der Intervallgrenze b ist zusätzlich der Wert des bestimmten Integrals F von der x-Achse aus abgetragen.

• Ziehe die rechte Intervallgrenze b entlang der x-Achse. Dabei wird für jeden Wert von b der Wert des bestimmten Integrals eingezeichnet. Es entsteht der Graph der so genannten Flächeninhaltsfunktion F(x) bezüglich der unteren Grenze a.
  
  
• Versuche die Gleichung dieser Flächeninhaltsfunktion F(x) zu finden. Gib dazu rechts deine vermutete Funktionsgleichung ein und drücke die Eingabetaste.
  Lösung: F(x) = x³/3 + 9

= F(b) - F(a)

• Im rechen Fenster siehst du diese Situation dargestellt, wobei du a und b verschieben kannst. Versuche in eigenen Worten die obige Formel zu erklären. Mache auch eine Skizze in deinem Heft.

• Berechne mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion bezogen auf die untere Grenze (-3), nämlich F(x) = x³/3 + 9, die Fläche unter dem Funktionsgraph von f(x) = x² im Intervall [-2, 1] in deinem Heft!
  Vergleiche dein Ergebnis mit der Konstruktion im rechten Fenster!