Didaktischer Kommentar: Pythagoras im Raum

Im Rahmen dieses Lernpfades sollen folgende Inhalte abgedeckt werden: Kennenlernen und Nachvollziehen verschiedener Beweise, Übungen zum räumlichen Vorstellungsvermögen, Anwendungen des Satzes von Pythagoras in Körpern (Prismen, Pyramiden, Oktaeder und Tetraeder), Herleiten des Katheten- und Höhensatzes

Kurzinformation
Schulstufe	8. Schulstufe
Dauer	5 - 8 Stunden
Unterrichtsfächer	Mathematik
Verwendete Medien	Dynamische Geometrie Software (zB. GeoGebra), Applets (Java, Flash), Internet
Technische Voraussetzungen	Java, Flash Player, Internet, eventuell Lernplattform
Autoren	Anita Dorfmayr, Walter Klinger, Anton Nagl

Voraussetzungen

Technische Voraussetzungen: GeoGebra (kostenlos von www.geogebra.org), Java (kostenlos von www.java.com), Internet, eventuell Lernplattform
Vorwissen der SchülerInnen: Lehrsatz des Pythagoras und seine Anwendung in ebenen Figuren, Volumen von Prisma und Pyramide
Technisches Vorwissen der SchülerInnen: elementarer Umgang mit dem Internet und einem DGS (zB. GeoGebra), eventuell Umgang mit einem Forum in einer Lernplattform

Lerninhalte und Lernziele

Lerninhalt	Lernziel
Herleitung des Satzes von Pythagoras	Geometrische Darstellungen deuten können, Vermutungen anstellen und formulieren können
Beweise für den Satz des Pythagoras	eine Begründung für den Lehrsatz des Pythagoras verstehen können, geometrische Darstellungen interpretieren können
Anwendungen in einfachen Aufgabenstellungen	den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren nutzen können, Variablen als Mittel zum Beschreiben von Sachverhalten und zum Lösen von Problemen verwenden können
Anwendungen in komplexeren Aufgabenstellungen (Prisma, Pyramide, Oktaeder, Tetraeder)	den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in Körpern nutzen können, Variablen als Mittel zum Beschreiben von Sachverhalten und zum Lösen von Problemen verwenden können, eigene Lösungswege entwickeln können
Katheten- und Höhensatz	Vermutungen anstellen und mathematisch exakt formulieren können, mathematische Zusammenhänge begründen können, argumentieren und exaktes Arbeiten, Höhen- und Kathetensatz erklären und einen Beweis präsentieren können
Rechtwinkelige Dreiecke in Körpern	Rechtwinkelige Dreiecke in Prismen und Pyramiden mithilfe eines DGS einzeichnen können, räumliches Vorstellungsvermögen entwickeln
Basteln eines Oktaeder-Skeletts	Räumliches Vorstellungsvermögen entwickeln

Didaktischer Hintergrund

Der Lernpfad wurden zum selbstständigen Erarbeiten der Inhalte konzipiert. Besonderes Augenmerk wurde auf die Verbindung von interaktiven Lernhilfen / Lernobjekten, Dynamischer Geometrie und traditionellen Medien (Buch, Heft, Papier, Schere, etc.) gelegt. Für den Lernpfad wurden drei didaktische Konzepte (eLearning, Stationenbetrieb, EVA-Lernspirale) entwickelt und erprobt.

Einsatz im Unterricht

Grundsätzlich wäre für ein effizientes Arbeiten pro Schüler/Schülerin ein PC notwendig; allerdings ist auch eine Partnerarbeit an einem Gerät bei entsprechender Abstimmung der Lerngeschwindigkeiten der beiden Partner durchaus möglich. Einzelne Module können auch ohne PC in der Klasse vorbereitet und / oder durchgeführt werden.

Verlaufsplan

Wo nicht anders angegeben, bleibt die Wahl der Sozialform den Schülerinnen und Schülern überlassen.
Die drei Phasen müssen in der angegebenen Reihenfolge absolviert werden. Die einzelnen Module einer Phase können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden.

Einstieg: Vorwissen / Voreinstellungen aktivieren

Selfchecking Tests (Lückentexte, Zuordnungsübung)
Lernprogramm zum Schließen individueller Wissenslücken
Multiple Choice Quiz: Aufgabenstellungen zum Erkennen geometrischer ebener Figuren in räumlichen Situationen

Neuigkeiten: Neue Kenntnisse / Verfahrensweisen erarbeiten

Katheten- und Höhensatz (Expertenmodell: Einzelarbeit – Partnerarbeit – Gruppenarbeit – Präsentation)
Lernprogramm zur Anwendung des Satzes des Pythagoras in Pyramiden
Dynamische Arbeitsblätter in einem DGS zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens
Basteln eines Oktaeder-Skeletts (haptischer Zugang zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens)
Anwendungsaufgaben mit Text

Herausforderungen: Komplexere Anwendungs- / Transferaufgaben

DGS-Aufgabe: Errichte über den Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks gleichseitige Dreiecke. Was fällt dir auf? Formuliere und beweise deine Entdeckung!
Anwendung des Satzes von Pythagoras auf Tetraeder und Oktaeder: Oberfläche und Volumen
Beweise: Perigal, Beweis mit Hilfe des Kathetensatzes

Kombination der Medien

Verschiedene interaktive Selfchecking-Tests ermöglichen den SchülerInnen, zu Beginn dieses Teils des Lernpfades den Status ihres Wissens, das Voraussetzung für die weiteren Lernschritte ist, festzustellen. In Kombination mit einem Lernprogramm, das die Inhalte der 7. Schulstufe abdeckt, können sie gegebenenfalls individuelle Wissenslücken schließen. Java-Applets, ein weiterführendes Lernprogramm sowie traditionell zu bearbeitende Arbeitsblätter bieten verschiedene Zugänge zu Erweiterungen des Satzes des Pythagoras und dessen Anwendung in Körpern. Zum Schulen des räumlichen Vorstellungsvermögens werden dynamische Arbeitsblätter in einem DGS mit haptischen Aufgabenstellungen (Herstellung eines Oktaeder-Skeletts kombiniert.

Lernmedien der SchülerInnen

Die Schüler arbeiten mit diesem Lernpfad nicht nur am Computer. Ihre Tätigkeiten und Ergebnisse sollen sie auch auf Arbeitsblättern oder in einem Heft festhalten. Außerdem kann eine Lernplattform sinnvoll eingesetzt werden.

Leistungsbeurteilung

Neben einer Bewertung der Protokolle der Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Mitarbeit (nach einem vereinbarten Punktesystem) erfolgt die Leistungsbeurteilung über entsprechende Schularbeitsbeispiele. Bei Verwendung einer Lernplattform sollte auch die Beteiligung der Schülerinnen und Schüler am Forum (zB. nach einem vereinbarten Punktesystem) beurteilt werden.