Sei
die Funktion f im Intervall [a, b] stetig, dann gilt: Beweis a): Um diesen wichtigen Satz zu begründen, folgen wir den anschaulichen Überlegungen. |
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Wir betrachten eine beliebige, stetige Funktion f und die Flächeninhaltsfunktion (Integralfunktion) A(x) der von a bis zur oberen variablen Grenze x reichenden Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse. Aufgabe
Lösung Hinweis |
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Hinweis: Die Bezeichnung verwendet als Integrationsvariable die Variable t, da x als veränderliche obere Grenze benutzt wird. |
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Wie verändert sich nun der Flächeninhalt, wenn man von x um ein kleines Stück Dx weiter nach rechts geht?
Zum Flächeninhalt A(x) kommt noch ein kleines Stück DA hinzu.
Aufgabe:
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Dieses kleine Flächenstück DA ist kein Rechteck, aber nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt, dass es eine Stelle x geben muss, sodass f(x) . Dx - das entspricht dem Flächeninhalt des grünen Rechtecks - gleich ist dem Flächeninhalt DA ist. |
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Im grün gezeichneten (Sekanten)Dreieck erkennt man als senkrechte Kathete DA = A(x+Dx) - A(x). |
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Dieser Wert ist gleich DA
= A(x+Dx) - A(x) = f(x) . Dx Das bedeutet aber, dass f(x) genau der Steigung der Sekante im Punkt A(x) entspricht. Aufgabe
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Führt man nun einen Grenzübergang für Dx gegen 0 durch, so erhält man wegen der Stetigkeit von f A'(x) = f(x) d.h. f(x) stellt genau die Steigung der Tangente im Punkt A(x) dar! Aufgabe
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Zusammenfassung
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