Hauptsatz: Beweis Teil (a)

Sei die Funktion f im Intervall [a, b] stetig, dann gilt:
 
a) Existenz von Stammfunktionen
Die Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion) Integral ist eine Stammfunktion von f .
Sie ist für alle x aus (a, b) differenzierbar, und es gilt 
.
Jede andere Stammfunktion von f hat die Form F(x) = A(x) + c ().

Beweis a):

Um diesen wichtigen Satz zu begründen, folgen wir den anschaulichen Überlegungen.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Wir betrachten eine beliebige, stetige Funktion f und die  Flächeninhaltsfunktion (Integralfunktion) A(x) der von a bis zur oberen variablen Grenze x reichenden Fläche zwischen dieser Kurve und der x-Achse.

Aufgabe  

  • Verändere die Positionen von a und x und verschiebe den Graphen der Funktion f !

  • Welchen Verlauf könnte die Flächeninhaltsfunktion A(x) nehmen?
    Hinweis: Welchen Wert nimmt A an, wenn x = a ist?

Lösung

 

Hinweis
Dass dieser Flächeninhalt tatsächlich existiert, wissen wir bereits, da wir ihn als Grenzwert der Ober- bzw. Untersummen berechnen können.

Hinweis: Die Bezeichnung verwendet als Integrationsvariable die Variable t, da x als veränderliche obere Grenze benutzt wird.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Wie verändert sich nun der Flächeninhalt, wenn man von x um ein kleines Stück Dx weiter nach rechts geht? 

 

Zum Flächeninhalt A(x) kommt noch ein kleines Stück DA hinzu.

 

Aufgabe:  

  • Verändere die Positionen von x und x + Dx !

  • Verschiebe den Graphen der Funktion f !

 

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Dieses kleine Flächenstück DA ist kein Rechteck, aber nach dem 

 Mittelwertsatz der Integralrechnung

folgt, dass es eine Stelle x geben muss, sodass f(x) . Dx - das entspricht dem Flächeninhalt des grünen Rechtecks - gleich ist dem Flächeninhalt DA ist.

Im grün gezeichneten (Sekanten)Dreieck erkennt man als senkrechte Kathete DA = A(x+Dx) - A(x).

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Dieser Wert ist gleich 

DA = A(x+Dx) - A(x) = f(x) . Dx

Das bedeutet aber, dass f(x) genau der Steigung der Sekante im Punkt A(x) entspricht.

Aufgabe

  • Verschiebe x weiter nach links und x+Dx weiter nach rechts, damit das Sekantendreieck besser erkennbar wird!

  • Zeige den Wert der Sekantensteigung und des Funktionswertes f(x) an und verschiebe anschließend wieder x bzw. x+Dx !

 

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra

Führt man nun einen Grenzübergang für Dx gegen 0 durch, so erhält man wegen der Stetigkeit von f

A'(x) = f(x)

d.h. f(x) stellt genau die Steigung der Tangente im Punkt A(x) dar!

Aufgabe 

  • Zeige die Steigung der Tangente und den Funktionswert f(x) an! 

 

 

Zusammenfassung

  • Spiele die einzelnen Stationen des Beweises noch einmal durch und versuche, die dargestellten Beweisschritte in Worten zu erläutern.

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.
©A. Lindner 2005, erstellt mit GeoGebra