Maxima

Für die quadratische Regression sucht man die Funktion

und erhält nach der Methode der kleinsten Quadrate (wie für die Lineare Regression)

Die Berechnung des gewünschten Minimums erfolgt über die partiellen Ableitungen nach den Koeffizienten. Die Lösung des dadurch entstehenden Gleichungssystems in den Koeffizienten a, b und c kann in folgende Maxima-Funktion zusammengefasst werden:

quadreg(liste,var):=block(
[n:0,i:1,j:1,k:1,lx,ly,lz,a,b,c],
  n:length(liste),
  lx(k):=1/n*sum(liste[i][1]^k,i,1,n),
  ly():=1/n*sum(liste[i][2],i,1,n),
  lz(j,k):=1/n*sum(liste[i][1]^j*liste[i][2]^k,i,1,n),
  c:((lz(1,1)-lx(1)*ly())/(lx(2)-lx(1)^2)-
     (lz(2,1)-lx(2)*ly())/(lx(3)-lx(1)*lx(2)))
    /
    ((lx(3)-lx(1)*lx(2))/(lx(2)-lx(1)^2)-
     (lx(4)-lx(2)^2)/(lx(3)-lx(1)*lx(2))),
  b:(lz(1,1)-lx(1)*ly())/(lx(2)-lx(1)^2)-
     c*(lx(3)-lx(1)*lx(2))/(lx(2)-lx(1)^2),
  a:ly()-lx(1)*b-lx(2)*c,
  return(a+b*var+c*var^2)
)$

MAXIMA-Datei

Überprüfung der Funktion mit geeignetem Datenmaterial:

Maxima bietet über ein mitgeliefertes Funktionspaket ebenfalls Möglichkeiten, einfach Regressionslinien zu berechnen - das Paket heißt lsquares.

Über load(lsquares) kann (unter anderem) auf folgende Funktionen zugegriffen werden:

• lsquares_estimates(Daten,Var,Ausdruck,Koeff) ...
  sucht zuerst eine exakte Lösung - wenn dies fehlschlägt eine approximierte Lösung -, um die Gleichung "Ausdruck" in den Variablen "Var" mit den Koeffizienten "Koeff" an das Datenmaterial "Daten" anzupassen.
  

  Daten ... eine Matrix

  Var ... eine Liste von Variablen, typischerweise [x,y]

  Ausdruck ... die gesuchte Gleichung: z.B. für kubische Regression y=a*x^3+b*x^2+c*x+d

  Koeff ... die gesuchten Koeffizienten: im oberen Falle [a,b,c,d]

  Ergänzend können auch Initialwerte für die Approximation gesetzt werden (siehe Onlinehilfe).
• lsquares_mse(Daten,Var,Ausdruck) ...
  ergibt den durchschnittlichen quadratischen Fehler für die Gleichung "Ausdruck" in den Variablen "Var" über das Datenmaterial "Daten".

Beispiel:

Wir testen das Paket lsquares mit einer kubischen Regression. Eine Funktion des Typs: a*x^3+b*x^2+c*x+d soll an das vorhandene Datenmaterial angepasst werden.

Anschließend fügen wir das Ergebnis der Regression für die Koeffezienten a, b, c und d in die Funktionsgleichung ein und definieren eine kubische Funktion f1(x).

Wir wandeln die Datenmatrix in eine Liste um und plotten die Daten als Scatterplot mit der Regressionskurve f1(x).

Parabel (Quadratische Regression):

Gegeben sind drei Punkte P(-5,2), Q(-1,3) und R(3,0). Bestimme jene Parabel, die durch die drei Punkte geht.

Welches Wetter herrscht in Wien (Sinusregression):

Welches Wetter herrscht in Wien? - die Lufttemperatur schwankt täglich und hängt von zahlreichen Einflüssen ab. Untersucht man jedoch den Verlauf der langjährigen Monatsmittelwerte, so lassen sich erstaunliche Gesetzmäßigkeiten erkennen.

Der Plot der Datenpunkte und der mit Hilfe der Regression bestimmten Funktion zeigt den Zusammenhang - bei den monatlichen Durchschnittstemperaturen erhält man (bis auf lokal begründbare Abweichungen) eine Sinuskurve! Die Parameter lassen sich recht leicht auch geographisch begründen:
die Amplitude (10.65) errechnet sich als (Juli = Max - Dezember = Min)/2, die Frequenz (ca. 0.5) ergibt sich durch 2^.pi/12 (12 Monate!), die Phasenverschiebung in y-Richtung entspricht ca. 3.5 Monate (Jahresbeginn 1.Jänner gegenüber Tag-Nacht-Gleich am 21.März + 1 Monat zusätzlich, da die Temperatur dem Sonnengang ca. 1 Monat "nachhinkt") + vertikale Verschiebung um die Durchschnittstemperatur von ca. 9.8 Grad - entspricht ziemlich genau der vom System ermittelten Kurve!

MAXIMA-Datei

Links:

• http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20907.html, Animierte Algorithmen, 2006 - Universität Oldenburg, Department für Informatik, W. P. Kowalk