Lösung - Primzahlen 03

Mersennsche Primzahlen


Definition: Wenn eine Zahl der Form 2n - 1 eine Primzahl ist, wird sie Mersennsche Zahl genannt.


Der Franziskaner Marin Mersenne (1588 - 1648) behauptete, dass für

      n ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}

die Zahlen 2n - 1 Primzahlen sind. Seine Behauptung konnte damals noch nicht für alle Zahlen überprüft werden. Euler bewies 1750, dass 231 - 1 eine Primzahl ist, weitere 100 Jahre später war es Francois Edouard Anatole Lucas (1842 - 1891), der zeigte, dass 2127 - 1 ebenfalls eine Primzahl ist. Erst 1947 waren alle Zahlen kleiner gleich 258 getestet und die folgende Liste wurde erstellt (Mersenne hatte sich zweimal geirrt und drei Zahlen "vergessen"!).

      n ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127}.

Seitdem der Computer in der Mathematik zum Einsatz kommt, geht natürlich die Jagd nach weiteren Mersennschen Zahlen weiter. Eine kleine Linkliste und die neueste (42te) gefundene Mersenne-Primzahl finden Sie am Austromath-Server.

Ein kleiner Hinweis - Mersennsche Zahlen spielen eine zentrale Rolle, wenn man große Primzahlen finden möchte.

Erweiterung

  • Verallgemeinerte Mersennezahlen: k.2n +/- 1 für n prim und k kleine Primzahlen.
  • Verallgemeinerte mersennezahlen / Cunningham-Projekt: bn +/- 1
  • Fermatzahlen: 22n + 1
  • Verallgeminerte Fermatzahlen: b2n + 1
  • Folge: n2 - 79.n + 1601 liefert für die Werte n = 0 bis n = 79 stets Primzahlen, größte bis heute bekannte Folge mit aufeinanderfolgenden Primzahlen - aber immer noch keine sichere Erzeugung - für n = 80 bekommt man 1681 = 11.151, also keine Primzahl!

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