Die gängigsten Funktionen, um mit Verteilungen zu arbeiten, sind in Maxima im Paket distrib enthalten. Für die Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ stehen folgende Routinen bereit:
Beispiele:
a) Berechnung der WahrscheinlichkeitDie Lebensdauer von Fernsehröhren ist normalverteilt mit μ = 8.6 Jahre (Erwartungswert) und σ = 2.1 Jahre (Standardabweichung).
x ... Lebensdauer von Fernsehröhren in Jahren! Wir laden das Utility-File / Package distrib und geben geben die Kennwerte (μ, σ) ein. Anschließend wird eine Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung über den Befehl pdf_normal(x,μ,σ) generiert und die Funktion mit Hilfe des draw2d-Befehls geplottet (draw2d hat gegenüber plot2d Vorteile bei der Gestaltung, der Möglichkeit von Füllungen und gleichzeitigem Plot von mehreren verschiedenen Objekten, für die Verwendung muss das Package draw geladen werden). Wir verwenden für die Fläche der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Maxima-Funktion cdf_normal(x,μ,σ). Beantwortung der Fragestellungen:
Darstellung - "höchstens 8 Jahre" (dunkelblau) und "mehr als 12 Jahre" (hellblau):
b) Berechnung eines IntervallsIn welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert μ = 8 Liter auf 100 km schwankt der Benzinverbrauch bei 95% der PKWs, wenn die Standardabweichung σ = 1 Liter pro 100 Kilometer beträgt? x ... Benzinverbrauch in Liter! Die Berechnung bedient sich der Formel für symmetrische Intervalle (Streubereiche) bei der Normalverteilung:
Darstellung des Streubereichs:
c) Berechnung des ErwartungswertesDie Standardabweichung bei der Reißfestigkeit von Kettengliedern wird mit σ = 1200 Newton geschätzt. Wie groß muss der Erwartungswert μ mindestens sein, damit höchstens 1% der Kettenglieder eine Festigkeit von weniger als 10000 Newton besitzen? x ... Reißfestigkeit in Newton Um die Maxima-Funktion quantile_normal() optimal ausnützen zu können, ist die Verwendung der Standardnormalverteilung (μ=0, σ=1) günstig. Nach Berechnung des Zwischenergebnisses über diese wird auf die gegebenen Werte rückgerechnet. Wir bedienen uns dazu einer kleinen Hilfsfunktion, um diesen Vorgang nicht jedesmal durchführen zu müssen. Anschließend berechnen wir den gesuchten Erwartungswert μ: Probe: Antwort: Der Erwartungswert μ für die Reißfestigkeit muss mindesten (ca.) 12790 Newton betragen, damit weniger als 1% aller Kettenglieder eine Reißfestigkeit unter 10000 Newton besitzen. d) Berechnung der StandardabweichungEine Waschmaschine soll für einen Waschgang mit einer vollen Ladung Wäsche durchschnittlich 70 Liter Wasser verbrauchen. Der Hersteller möchte erreichen, dass bei höchstens 3% aller verkauften Maschinen der Wasserverbrauch größer als 80 Liter ist. Welche Standardabweichung σ darf die Maschine (höchstens) haben, wenn man voraussetzt, dass der Wasserverbrauch normalverteilt ist? x ... Verbrauch in Liter Wasser Berechnung wieder über die Standardnormalverteilung mit einer eigenen Funktion: ![]() Links:
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© PH-NOe, letzte Änderung am 22. Mai 2008, erstellt von Walter Wegscheider